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ポアソン分布の総和と期待値と分散の話

つまりなにしたの?

ポアソン分布の確率の和が1であることの確認と期待値と分散を定義から手計算した。
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*1

ポアソン分布ってなに?

ランダムにおきる珍しいことが、ある期間内に何回おきる確率があるかを表す。
例えば1年以内にある場所で事故が起きる回数で、歴史的にはプロシア陸軍において馬に蹴られて亡くなった兵士数を当てはめたのが最初だとか。

 P(X=x) = \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}

で表すことができる。
これは、二項分布のnを無限大、pを0にする極限をとったもの。

ポアソン分布の総和

ポアソン分布は離散な分布なのでポアソン分布の総和は以下の式で表される

 \sum^N_x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}  = e^{-\lambda} \sum^N_x \frac{\lambda^x}{x!}

ここで、 e^xをx=0でテイラー展開マクローリン展開)した結果が、

 e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = \sum^N_x \frac{\lambda^x}{x!}

であり、

 e^{-\lambda} \sum^N_x \frac{\lambda^x}{x!} = e^{-lambda} e^{\lambda} = 1

なのでポアソン分布の総和は1になることが確認できた。

ポアソン分布の期待値

そもそも、離散な確率密度関数の期待値は

 E(X)=\sum_x xP(X)

で表せるので、

 E(X)=\sum_x x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!}

となる。
というわけでポアソン分布の期待値は
 \begin{align}
E(X)&= \sum_x x \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\
&= e^{-\lambda} \sum_x \frac{\lambda^x}{(x-1)!} \\
&= e^{-\lambda} \lambda \sum_x \frac{\lambda^(x-1)}{(x-1)!} \\
&= e^{-\lambda} \lambda e^{\lambda} \\
&= \lambda
\end{align}

で表すことができる。

ポアソン分布の分散

離散な確率密度関数の分散は期待値を用いて
 V(X) = E(X^2)-E(X)^2
で表すことができる。
さっきE(X)は求めたので E(X^2)を求める。

 \begin{align}
E(X^2)&=\sum_x x^2 \frac{\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} \\
&= e^{-\lambda} \sum_x x \frac{\lambda^x}{(x-1)!} \\
&= e^{-\lambda} \left( \sum_x (x-1) \frac{\lambda^x}{(x-1)!} + \sum_x \frac{\lambda^x}{(x-1)!} \right) \\
&= e^{-\lambda} \left(\lambda^2 \sum_x \frac{\lambda^(x-2)}{(x-2)!} + \lambda \sum_x \frac{\lambda^(x-1)}{(x-1)!} \right) \\
&= e^{-\lambda} \left(\lambda^2 e^{\lambda} + \lambda e^{\lambda} \right) \\
&= e^{-\lambda} e^{\lambda} \left(\lambda^2 + \lambda \right) \\
&= \lambda^2 + \lambda
\end{align}
これを、V(X)の式に代入すると

 \begin{align}
V(X)&= \lambda^2 + \lambda - \lambda^2 \\
&= \lambda
\end{align}

というわけで離散一様分布の分散は \lambdaで表すことができる。

やってみてどうだった?

 \sum_x \frac{\lambda^x}{x!}をみてテイラー展開に行き着くまでだいぶ時間がかかった。

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