指数分布の確率の総和と平均値と分散の話

つまりなにしたの？

指数分布の確率の総和が1であることの確認と期待値と分散を定義から手計算した。
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*1

指数分布ってなに？

待ち時間分布の性質を持っており、故障率が一定のシステムの偶発的な故障（寿命）までの待ち時間や
次の災害までどれくらいの日数があるかも表現できると言われている。

そんな確率分布は

$P(X)=\lambda e^{-\lambda x} ~ (x\geqq 0)$
$0 ~ (x < 0)$

で表すことができる。

指数分布の総和

指数分布は連続な分布なので指数分布の総和は以下の式で表される

$\begin{align} \int_{-\infty}^{\infty} P(X) dx &= \int_0^{\infty} \lambda e^{-\lambda x} dx \\ &=\lambda \left[ -\frac{1}{\lambda}e^{-\lambda x} \right] ^{\infty}_0 \\ &=-1 \left( e^{-\infty} - e^0 \right) \\ &=1 \end{align}$
指数分布の総和は1になることが確認できた。

指数分布の期待値

連続な確率密度関数の期待値は

$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} xP(X)$

で表せる。ただ、0未満では0なので

$E(X)=\int_{0}^{\infty} x\lambda e^{-\lambda x} dx$

となる。
というわけで指数分布の期待値は
$\begin{align} E(X)&=\int_0^\infty x\lambda e^{-\lambda x} dx \\ &=\lambda \left[ \frac{e^{-\lambda x}}{(-\lambda)^2}(-\lambda x-1) \right]_0^\infty \\ &=\frac{1}{\lambda} \left[ \frac{-\lambda x-1}{e^{\lambda x}} \right]_0^\infty \\ &=\frac{1}{\lambda} \left( \frac{\infty-1}{e^{\infty}} - \frac{-1}{1} \right) \\ &=\frac{1}{\lambda} \end{align}$

で表すことができる。

指数分布の分散

連続な確率密度関数の分散は期待値を用いて
$V(X) = E(X^2)-E(X)^2$
で表すことができる。
さっきE(X)は求めたので $E(X^2)$ を求める。

$\begin{align} E(X^2)&=\int_0^\infty x^2\lambda e^{-\lambda x} dx \\ &=\lambda \left[ e^{-\lambda x}\left( \frac{x^2}{-\lambda}-\frac{2x}{\lambda^2}+\frac{2}{-\lambda^3} \right) \right]_0^\infty \\ &=\lambda \left( -\left( \frac{0}{-\lambda e^{-\lambda 0}}-\frac{0}{\lambda^2 e^{-\lambda 0}}+\frac{2}{-\lambda^3 e^{-\lambda 0}} \right) \right)\\ &=\lambda \left( \frac{2}{\lambda^3} \right)\\ &=\frac{2}{\lambda^2} \end{align}$

これを、V(X)の式に代入すると

$\begin{align} V(X)&=\frac{2}{\lambda^2} - \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2 \\ &=\frac{2}{\lambda^2} - \frac{1}{\lambda^2} \\ &=\frac{1}{\lambda^2} \end{align}$