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離散一様分布の総和と期待値と分散の話

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つまりなにしたの?

離散一様分布の確率の和が1であることの確認と期待値と分散を定義から手計算した。
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*1

離散一様分布ってなに?

サイコロみたいな感じである範囲の値が同じ確率で出現する。
そんなわけでかなりシンプルに

 P(X=x) = \frac{1}{N},\qquad x=0, 1, ..., n

で表すことができる。

ここで、見りゃわかるといえば見りゃわかるけど、確率であることを確かめる。
確率であれば分布の総和は1になるので次はこれを確認する。

離散一様分布の総和

離散一様分布は離散な分布なので離散一様分布の総和は以下の式で表される

 \sum^N_x \frac{1}{N} = 1

なので離散一様分布の総和は1になることが確認できた。

離散一様分布の期待値

そもそも、離散な確率密度関数の期待値は

 E(X)=\sum_x xP(X)

で表せるので、

 E(X)=\sum_x x \frac{1}{N}

となる。
というわけで離散一様分布の期待値は
 \begin{align}
E(X)&=\frac{N(N+1)}{2} \frac{1}{N} \\
&=\frac{N+1}{2}
\end{align}

で表すことができる。

離散一様分布の分散

離散な確率密度関数の分散は期待値を用いて
 V(X) = E(X^2)-E(X)^2
で表すことができる。
さっきE(X)は求めたので E(X^2)を求める。

 \begin{align}
E(X^2)&=\sum_x x^2 \frac{1}{N} \\
&= \frac{1}{N} \sum_x x^2 \\
&= \frac{1}{N} N\frac{(N+1)(2N+1)}{6} \\
\end{align}
これを、V(X)の式に代入すると

 \begin{align}
V(X)&= \frac{(N+1)(2N+1)}{6}-\frac{(N+1)^2}{4} \\
&= \frac{(N+1)(8N+4-6N-6)}{24} \\
&= \frac{(N+1)(N-1)}{12} \\
&= \frac{N^2-1}{12}
\end{align}

というわけで離散一様分布の分散は \frac{N^2-1}{12}で表すことができる。

やってみてどうだった?

一様分布の分散完全に忘れてた。なんなら総和の計算も忘れてた。

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