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幾何分布の総和と期待値と分散の話

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つまりなにしたの?

幾何分布の確率の和が1であることの確認と期待値と分散を定義から手計算した。
f:id:ensekitt:20180511070629j:plain
*1

幾何分布ってなに?

「狙ってるもの」か「狙ってないもの」どちらかが出てくるガチャで、
「狙ってるもの」が出る確率がp,「狙ってないもの」が出る確率が(1-p)になっている時に
「【重課金】狙ってるものが出るまで帰れま10!【絶望】」
みたいな実況プレイしたらちゃんと尺が稼げるのか?、終わる見込みがあるのか?が知りたい。

そんな確率分布は

 P(X=x) = p(1-p)^{x-1}

で表すことができる。

幾何分布の総和

幾何分布は離散な分布なので幾何分布の総和は以下の式で表される

 \begin{align}
\sum^{\infty}_x p(1-p)^{x-1} &= p \sum^{\infty}_x (1-p)^{x-1} \\
&= p \frac{1-(1-p)^{infty}}{1-(1-p)} \\
&= p \frac{1-(1-p)^{infty}}{p} \\
&= 1
\end{align}
 (1-p)\leq1を無限大回施行するので
幾何分布の総和は1になることが確認できた。

幾何分布の期待値

離散な確率密度関数の期待値は

 E(X)=\sum_x xP(X)

で表せるので、

 E(X)=\sum_x x p(1-p)^{x-1}

となる。
というわけで幾何分布の期待値は
 \begin{align}
E(X)&= \sum_x x p(1-p)^{x-1}
\end{align}

で表すことができ、こちらも無限和なので
 \begin{align}
\sum_x x p(1-p)^{x-1} - (1-p)\sum_x x p(1-p)^{x-1} \equiv 1
\end{align}
恒等式を使うと
 \begin{align}
(1-(1-p))\sum_x x p(1-p)^{x-1} &= 1
\sum_x x p(1-p)^{x-1} &= \frac{1}{p}
\end{align}
となる。

幾何分布の分散

離散な確率密度関数の分散は期待値を用いて
 V(X) = E(X^2)-E(X)^2
で表すことができる。
さっきE(X)は求めたので E(X^2)を求める。

 \begin{align}
E(X^2) &= E(X(X-1)) + E(X) \\
\\
E(X(X-1))&=\sum_x x(x-1) p(1-p)^{x-1} \\
&= p(1-p)\sum_x x(x-1) (1-p)^{x-2} \\
&= p(1-p) \frac{2}{(1-(1-p))^3} \\
&= p(1-p) \frac{2}{p^3} \\
&= \frac{2(1-p)}{p^2} \\
\\
E(X^2)&= \frac{2(1-p)}{p^2} + \frac{1}{p} \\
&= \frac{2-p}{p^2}
\end{align}

これを、V(X)の式に代入すると

 \begin{align}
V(X)&= \frac{2-p}{p^2} - (\frac{1}{p})^2 \\
&= \frac{1-p}{p^2}
\end{align}

というわけで離散一様分布の分散は (1-p)/p^2で表すことができる。

やってみてどうだった?

1.5%のガチャを100回、回したら 1-0.985^100=0.78
だよ!でも逆に言えば2割以上の人が100回回しても所望のアイドルに会えるとは限らないんですね。世知辛い

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